Une famille d'entiers pairs - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Montrer que \(n(n^2+41)\) est pair en raisonnant par disjonction de cas.

Solution

Soit \(n \in \mathbb{N}\) .

• Cas où \(n\) est pair : il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(n=2k\) . On a alors : 
  \(\begin{align*}n(n^2+41)& =2k((2k)^2+41)\\& =2k(4k^2+41)\\& =2k'\end{align*}\)  
  avec \(k'= k(4k^2+41) \in \mathbb{Z}\) , donc \(n\) est un multiple de \(2\) , c'est-à-dire \(n\) est pair.
• Cas où \(n\) est impair : il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(n=2k+1\) . On a alors : 
  \(\begin{align*}n(n^2+41)& =(2k+1)((2k+1)^2+41)\\ & =(2k+1)(4k^2+4k+1+41)\\ & =(2k+1)(4k^2+4k+42)\\ & =2(2k+1)(2k^2+2k+21)\\ & =2k'\end{align*}\)   
  avec \(k'= (2k+1)(2k^2+2k+21) \in \mathbb{Z}\) , donc \(n\) est un   multiple de \(2\) , c'est-à-dire \(n\) est pair.